כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\fbox{\thepage}\leftmark
אינטגרלים\fbox{\thepage}
1 אינטגרביליות על תיבות
1.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
האינטגרלים שנעסוק בהם בקורס זה הם אינטגרלים מסוימים בלבד שכן בממדים גבוהים אין משמעות לפונקציה קדומה: בד"כ היא אינה מוגדרת וגם כשכן היא חסרת משמעות. נראהלי שהסיבה לכך היא השוני שבין הגזירות החד-ממדית לדיפרנציאביליות הרב-ממדית: בעוד שהנגזרת מנסה לפרמל את מושג המהירות הרגעית הדיפרנציאל אינו יכול להתיימר לעשות זאת והוא מסתפק בכך שהפונקציה "יפה" במובן שקצב השינוי שלה דומה לזה של העתקה ליניארית; מכיוון שכך אין משמעות פילוסופית לשאלה איזו פונקציה הייתה נותנת דיפרנציאל כזה וכזה לו היינו גוזרים אותה, ובזאת נסתם הגולל על הפונקציה הקדומה.
\(\clubsuit\)
כלומר הנפח של תיבה הוא מכפלת אורכי המקצועות שלה.
תזכורת:
נאמר שקבוצה סופית \(P\subseteq\left[a,b\right]\) היא חלוקה של הקטע\(\left[a,b\right]\) אם \(a,b\in P\).
\(\clubsuit\)
כמובן שמהגדרה מתקיים \(\underline{s}\left(f,P\right)\leq\overline{S}\left(f,P\right)\).
\(\clubsuit\)
להלן נאמר גם סתם "אינטגרבילית" במקום "אינטגרבילית לפי דארבו".
\(\clubsuit\)
לפעמים מסמנים גם \({\displaystyle \intop_{A}f\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}\right)dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{k}:=\intop_{A}f\left(x\right)dx}\).
הגדרה 1.1. תיבה סגורה ב-\(\MKreal^{k}\) היא קבוצה מהצורה:\[
\prod_{i=1}^{k}\left[a_{i},b_{i}\right]:=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\left[a_{2},b_{2}\right]\times\ldots\times\left[a_{k},b_{k}\right]
\]עבור \(a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots,a_{k},b_{k}\in\MKreal\) כך ש-\(a_{i}\leq b_{i}\)1אם \(a_{i}=b_{i}\) אז הקטע \(\left[a_{i},b_{i}\right]\) מנוון, כלומר \(\left[a_{i},b_{i}\right]=\left\{ a_{i}\right\} \). לכל \(k\geq i\in\MKnatural\), אם בנוסף מתקיים \(b_{i}-a_{i}=b_{j}-a_{j}\) לכל \(k\geq i,j\in\MKnatural\) נאמר גם שזוהי קובייה סגורה. הפנים של תיבה סגורה ייקרא תיבה פתוחה, והפנים של קובייה סגורה ייקרא קובייה פתוחה.
מסקנה 1.2. תיבה סגורה היא קבוצה קומפקטית, ותיבה פתוחה היא קבוצה פתוחה.
הגדרה 1.3. תהא \(B:=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\left[a_{2},b_{2}\right]\times\ldots\times\left[a_{k},b_{k}\right]\) תיבה, נסמן ב-\(\text{ar}\left(B\right)\) את היחס המקסימלי בין אורכיהן של זוג מקצועות של \(B\); כלומר:\[
\MKar\left(B\right):=\max_{k\geq i,j\in\MKnatural}\left(\frac{b_{i}-a_{i}}{b_{j}-a_{j}}\right)=\frac{\max\left\{ b_{i}-a_{i}\mid k\geq i\in\MKnatural\right\} }{\min\left\{ b_{j}-a_{j}\mid k\geq j\in\MKnatural\right\} }
\]מספר זה ייקרא יחס האורך-רוחב של \(B\).
מסקנה 1.4. לכל תיבה \(B\subseteq\MKreal^{k}\) מתקיים \(\text{ar}\left(B\right)\geq1\), ו-\(\text{ar}\left(B\right)=1\) אם"ם \(B\) היא קובייה.
הגדרה 1.5. תהא \(A:=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\left[a_{2},b_{2}\right]\times\ldots\times\left[a_{k},b_{k}\right]\) תיבה סגורה ב-\(\MKreal^{k}\), הנפח של \(A\) הוא:\[
{\displaystyle V\left(A\right):=\prod_{i=1}^{k}\left(b_{i}-a_{i}\right)}
\]
מסקנה 1.6. לכל שתי תיבות סגורות \(A,B\subseteq\MKreal^{k}\) כך ש-\(A\subseteq B\) מתקיים \(V\left(A\right)\subseteq V\left(B\right)\).
הגדרה 1.7. תהא \(A:=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\left[a_{2},b_{2}\right]\times\ldots\times\left[a_{k},b_{k}\right]\) תיבה סגורה ב-\(\MKreal^{k}\), חלוקה של \(A\) היא קבוצה מהצורה \(P_{1}\times P_{2}\times\ldots\times P_{k}\) כאשר \(P_{i}\) היא חלוקה של \(\left[a_{i},b_{i}\right]\) לכל \(k\geq i\in\MKnatural\). נאמר שחלוקה \(P\) של \(A\) היא עידון של חלוקה \(Q\) של \(A\) אם \(P\subseteq Q\).
אם אתם רוצים להישאר נאמנים למה שראינו בכיתה עליכם להחליף את שמו של דארבו בשמו של רימן בכל מקום.
הגדרה 1.8. סכומי דארבו2ערך בוויקיפדיה: דארבו גסטון ז'אן. תהא \(A:=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\left[a_{2},b_{2}\right]\times\ldots\times\left[a_{k},b_{k}\right]\) תיבה סגורה ב-\(\MKreal^{k}\), ותהא \(P:=P_{1}\times P_{2}\times\ldots\times P_{k}\) חלוקה של \(A\). לכל \(k\geq i\in\MKnatural\) יהיו \(x_{i,0},x_{i,1},\ldots,x_{i,l_{i}}\in\MKreal\) כך ש-\(P_{i}=\left\{ x_{i,0},x_{i,1},\ldots,x_{i,l_{i}}\right\} \) ו-\(a_{i}=x_{i,0}<x_{i,1}<\ldots<x_{i,l_{i}}=b_{i}\). לכל \(s:=\left(x_{1,j_{1}},x_{2,j_{2}},\ldots,x_{k,_{j_{k}}}\right)\) כך ש-\(l_{i}\geq j_{i}\in\MKnatural\) לכל \(k\geq i\in\MKnatural\), נסמן:\[
A_{s}:=\left[x_{1,\left(j_{1}-1\right)},x_{1,j_{1}}\right]\times\left[x_{2,\left(j_{2}-1\right)},x_{2,j_{2}}\right]\times\ldots\times\left[x_{k,\left(j_{k}-1\right)},x_{k,j_{k}}\right]
\]וכמו כן נסמן \(r:=\prod_{i=1}^{k}l_{k}\). א"כ קיבלנו \(r\) תיבות שהאיחוד שלהן הוא \(A\) והפנימים של כל שתיים מהן זרים, תהיינה \(A_{1},A_{2},\ldots,A_{r}\) כל התיבות הללו בסדר כלשהו. לכל פונקציה חסומה \(f:A\rightarrow\MKreal\) נסמן (לכל \(r\geq i\in\MKnatural\)):\[
M_{i}\left(f,P\right):=\sup\left\{ f\left(x\right)\mid x\in A_{i}\right\} ,\ m_{i}\left(f,P\right):=\inf\left\{ f\left(x\right)\mid x\in A_{i}\right\}
\]ונגדיר:\[\begin{align*}
\overline{S}\left(f,P\right) & :=\sum_{i=1}^{r}M_{i}\left(f,P\right)\cdot V\left(A_{i}\right)\\
\underline{s}\left(f,P\right) & :=\sum_{i=1}^{r}m_{i}\left(f,P\right)\cdot V\left(A_{i}\right)
\end{align*}\]ל-\(\overline{S}\left(f,P\right)\) נקרא סכום דארבו העליון של \(f\) עבור \(P\) ול-\(\underline{s}\left(f,P\right)\) נקרא סכום דארבו התחתון של \(f\) עבור \(P\).
הגדרה 1.9. אינטגרל עליון ואינטגרל תחתון תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה, לכל פונקציה חסומה \(f:A\rightarrow\MKreal\) נסמן:\[\begin{align*}
\overline{\intop}_{A}f\left(x\right)dx & :=\inf\left\{ \begin{array}{c|c}
\overline{S}\left(f,P\right) & A\ \text{חלוקה של}\ P\end{array}\right\} \\
\underline{\intop}_{A}f\left(x\right)dx & :=\sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\underline{s}\left(f,P\right) & A\ \text{חלוקה של}\ P\end{array}\right\}
\end{align*}\]\({\displaystyle \overline{\intop}_{A}f}\) ייקרא האינטגרל העליון של \(f\) על \(A\), ו-\({\displaystyle \underline{\intop}_{A}f}\) ייקרא האינטגרל התחתון של \(f\) על \(A\).
הגדרה 1.10. אינטגרביליות לפי דארבו תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה, נאמר שפונקציה חסומה \(f:A\rightarrow\MKreal\)אינטגרבילית לפי דארבו על \(A\) אם \({\displaystyle {\displaystyle \overline{\intop}_{A}f\left(x\right)dx}=\underline{\intop}_{A}f\left(x\right)dx}\), ובמקרה כזה נסמן:\[
\intop_{A}f\left(x\right)dx:={\displaystyle \overline{\intop}_{A}f}\left(x\right)dx=\underline{\intop}_{A}f\left(x\right)dx
\]\({\displaystyle \intop_{A}f\left(x\right)dx}\) ייקרא האינטגרל של \(f\) על \(A\).
משפט 1.11. ליניאריות האינטגרל נניח ש-\(f\) ו-\(g\) אינטגרביליות על \(A\).
לכל \(c\in\MKreal\) מתקיים \(c\cdot\intop_{A}f\left(x\right)dx=\intop_{A}\left(c\cdot f\right)\left(x\right)dx\).
מתקיים \(\intop_{A}\left(f\pm g\right)\left(x\right)dx=\intop_{A}f\left(x\right)dx\pm\intop_{A}g\left(x\right)dx\).
משפט 1.12. מונוטוניות האינטגרל נניח ש-\(f\) ו-\(g\) אינטגרביליות על \(A\), אם \(f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\) לכל \(x\in A\) אז:\[
\intop_{A}f\left(x\right)dx\leq\intop_{A}g\left(x\right)dx
\]
טענה 1.14. תהיינה \(P\) ו-\(Q\) חלוקות של \(A\) כך ש-\(P\subseteq Q\); מתקיים:\[
\underline{s}\left(f,P\right)\leq\underline{s}\left(f,Q\right)\leq\overline{S}\left(f,Q\right)\leq\overline{S}\left(f,Q\right)
\]
משפט 1.15. \(f\) אינטגרבילית על \(A\) אם"ם לכל\(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת חלוקה \(P\) של \(A\) כך ש-\(\overline{S}\left(f,P\right)-\underline{s}\left(f,P\right)<\varepsilon\).
משפט 1.16. תהא \(B\) תיבה כך ש-\(A\cup B\) היא תיבה ו-\(A^{\circ}\cap B^{\circ}=\emptyset\), ותהא \(h:A\cup B\rightarrow\MKreal\) פונקציה. \(h\) אינטגרבילית על \(A\cup B\) אם"ם היא אינטגרבילית על \(A\) ועל \(B\) בנפרד, ובמקרה כזה מתקיים:\[
\intop_{A\cup B}h\left(x\right)dx=\intop_{A}h\left(x\right)dx+\intop_{B}h\left(x\right)dx
\]
הוכחה. ראשית נשים לב לכך שמהעובדה ש-\(A^{\circ}\cap B^{\circ}=\emptyset\) נובע שלכל חלוקה \(P\) של \(A\cup B\), התיבות הנוצרות ע"י \(P\) מתחלקות לשתי קבוצות זרות - אלו שנוצרות ע"י \(P\cap A\) ואלו שנוצרות ע"י \(P\cap B\). מכאן שלכל חלוקה \(P\) של \(A\cup B\) מתקיים:\[\begin{align*}
\underline{s}\left(h,P\right) & =\underline{s}\left(h,P\cap A\right)+\underline{s}\left(h,P\cap B\right)\\
\overline{S}\left(h,P\right) & =\overline{S}\left(h,P\cap A\right)+\overline{S}\left(h,P\cap B\right)
\end{align*}\]
\(\Leftarrow\) נניח בשלילה ש-\(h\) אינה אינטגרבילית על \(A\) ו/או על \(B\), ונניח בהג"כ ש-\(h\) אינה אינטגרבילית על \(A\). ע"פ משפט 1.5 קיים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך שלכל חלוקה \(Q\) של \(A\) מתקיים:\[
\overline{S}\left(h,Q\right)-\underline{s}\left(h,Q\right)\geq\varepsilon
\]יהי \(\varepsilon\) כנ"ל, ומכאן שלכל חלוקה \(P\) של \(A\cup B\) מתקיים:\[\begin{align*}
\overline{S}\left(h,P\right)-\underline{s}\left(h,P\right) & =\left(\overline{S}\left(h,P\cap A\right)+\overline{S}\left(h,P\cap B\right)\right)-\left(\underline{s}\left(h,P\cap A\right)+\underline{s}\left(h,P\cap B\right)\right)\\
& =\left(\overline{S}\left(h,P\cap A\right)-\underline{s}\left(h,P\cap A\right)\right)+\left(\overline{S}\left(h,P\cap B\right)-\underline{s}\left(h,P\cap B\right)\right)\geq\varepsilon+0=\varepsilon
\end{align*}\]כלומר \(h\) אינה אינטגרבילית על \(A\cup B\) (משפט 1.5). מכאן שאם \(h\) אינטגרבילית על \(A\cup B\) אז היא אינטגרבילית על \(A\) ועל \(B\) בנפרד.
\(\Rightarrow\) נניח ש-\(h\) אינטגרבילית על \(A\) ועל \(B\) בנפרד, ותהיינה \(P_{A}\) ו-\(P_{B}\) חלוקות של \(A\) ושל \(B\) בהתאמה. ע"פ טענה 1.4 לכל חלוקה \(P\) של \(A\cup B\) כך ש-\(P_{A},P_{B}\subseteq P\) מתקיים:\[
\underline{s}\left(h,P_{A}\right)+\underline{s}\left(h,P_{B}\right)\leq\underline{s}\left(h,P\cap A\right)+\underline{s}\left(h,P\cap B\right)=\underline{s}\left(h,P\right)\leq\overline{S}\left(h,P\right)=\overline{S}\left(h,P\cap A\right)+\overline{S}\left(h,P\cap B\right)\leq\overline{S}\left(h,P_{A}\right)+\overline{S}\left(h,P_{B}\right)
\]ולפיכך:\[
{\color{blue}\underline{\intop}_{A}h\left(x\right)dx+\underline{\intop}_{B}h\left(x\right)dx}\leq\underline{\intop}_{A\cup B}h\left(x\right)dx\leq\overline{\intop}_{A\cup B}h\left(x\right)dx\leq{\color{blue}\overline{\intop}_{A}h\left(x\right)dx+\overline{\intop}_{B}h\left(x\right)dx}
\]אבל:\[
{\color{blue}\underline{\intop}_{A}h\left(x\right)dx+\underline{\intop}_{B}h\left(x\right)dx=\overline{\intop}_{A}h\left(x\right)dx+\overline{\intop}_{B}h\left(x\right)dx}
\]ומכאן ש-\(h\) אינטגרבילית על \(A\cup B\) ומתקיים:\[
\intop_{A\cup B}h\left(x\right)dx=\intop_{A}h\left(x\right)dx+\intop_{B}h\left(x\right)dx
\]
טענה 1.17. תהא \(B\subseteq A\) תיבה סגורה, קיימות תיבות סגורות \(C_{1},C_{2},\ldots,C_{m}\subseteq A\) המקיימות:
\(C_{i}^{\circ}\cap C_{j}^{\circ}=\emptyset\) ו-\(B^{\circ}\cap C_{i}^{\circ}\) לכל \(m\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\).
מסקנה 1.18. \(f\) אינטגרבילית על \(A\) אם"ם \(f\) אינטגרבילית על כל תיבה \(B\subseteq A\).
טענה 1.19. החיתוך של שתי תיבות סגורות הוא תיבה סגורה.
מסקנה 1.20. תהא \(B\) תיבה ותהא \(h:A\cup B\rightarrow\MKreal\) פונקציה חסומה, \(h\) אינטגרבילית על \(A\cup B\) אם"ם היא אינטגרבילית על \(A\) ועל \(B\) בנפרד, ובמקרה כזה מתקיים:\[
\intop_{A\cup B}h\left(x\right)dx=\intop_{A}h\left(x\right)dx+\intop_{B}h\left(x\right)dx-\intop_{A\cap B}h\left(x\right)dx
\]
משפט 1.21. אם \(f\) רציפה אז היא אינטגרבילית על \(A\).
הוכחה. נניח ש-\(f\) רציפה, \(A\) היא קבוצה קומפקטית ולכן ע"פ משפט קנטור \(f\) רציפה במידה שווה על \(A\). יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ותהא \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x,y\in A\) המקיימים \(\left\Vert x-y\right\Vert <\delta\) מתקיים \({\color{red}\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}}\). תהא \(P\) חלוקה של \(A\) כך שלכל \(x,y\in A\) השייכים לאותה תיבה הנוצרת מן החלוקה יתקיים \(\left\Vert x-y\right\Vert <\delta\), ותהיינה \(A_{1},A_{2},\ldots,A_{r}\) כל התיבות הנוצרות מחלוקה זו. א"כ מתקיים:\[\begin{align*}
\overline{S}\left(f,P\right)-\underline{s}\left(f,P\right) & =\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot\left({\color{red}\sup_{x\in A_{i}}f\left(x\right)-\inf_{x\in A_{i}}f\left(x\right)}\right)\\
& \leq\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot{\color{red}\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}}=\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\cdot\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\\
& =\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\cdot V\left(A\right)=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon
\end{align*}\]ממשפט 1.5 נובע ש-\(f\) אינטגרבילית על \(A\).
טענה 1.22. תהא \(h:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה, אם \(f\) אינטגרבילית על \(A\) אז גם \(h\circ f\) אינטגרבילית על \(A\).
הוכחה. נניח ש-\(f\) אינטגרבילית על \(A\), מכאן ש-\(f\) חסומה, א"כ יהי \(M\in\MKreal\) כך ש-\(\left|f\left(x\right)\right|<M\) לכל \(x\in A\). ע"פ משפט קנטור \(h\) רציפה במידה שווה על \(\left[-M,M\right]\), א"כ יהיו \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ו-\(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x,y\in\left[-M,M\right]\) המקיימים \(\left|x-y\right|<\delta\) מתקיים \(\left|h\left(x\right)-h\left(y\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\). ע"פ משפט 1.5 קיימת חלוקה \(P\) של \(A\) כך שמתקיים \(\overline{S}\left(f,P\right)-\underline{s}\left(f,P\right)<\frac{\varepsilon\cdot\delta}{4M}\), א"כ תהא \(P\) חלוקה כזו, ותהיינה \(A_{1},A_{2},\ldots,A_{r}\) כל התיבות הנוצרות מחלוקה זו. לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) נסמן:\[\begin{align*}
W_{i}\left(f\right) & :=\sup_{x\in A_{i}}f\left(x\right)-\inf_{x\in A_{i}}f\left(x\right)\\
W_{i}\left(h\circ f\right) & :=\sup_{x\in A_{i}}h\left(f\left(x\right)\right)-\inf_{x\in A_{i}}h\left(f\left(x\right)\right)
\end{align*}\]מכאן שלכל \(r\geq i\in\MKnatural\) המקיים \(W_{i}<\delta\) מתקיים:\[
W_{i}\left(h\circ f\right)<\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}
\]בנוסף מתקיים:\[
\delta\cdot\sum_{W_{i}\geq\delta}V\left(A_{i}\right)\leq\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot W_{i}=\overline{S}\left(f,P\right)-\underline{s}\left(f,P\right)<\frac{\varepsilon\cdot\delta}{4M}
\]ולכן גם:\[
\sum_{W_{i}\geq\delta}V\left(A_{i}\right)<\frac{\varepsilon}{4M}
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\overline{S}\left(h\circ f,P\right)-\underline{s}\left(h\circ f,P\right) & =\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot W_{i}\left(h\circ f\right)\\
& =\sum_{W_{i}<\delta}V\left(A_{i}\right)\cdot W_{i}\left(h\circ f\right)+\sum_{W_{i}\geq\delta}V\left(A_{i}\right)\cdot W_{i}\left(h\circ f\right)\\
& <\sum_{W_{i}<\delta}V\left(A_{i}\right)\cdot\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}+\sum_{W_{i}\geq\delta}V\left(A_{i}\right)\cdot2M\\
& =\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\cdot\sum_{W_{i}<\delta}V\left(A_{i}\right)+2M\cdot\sum_{W_{i}\geq\delta}V\left(A_{i}\right)\\
& <\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\cdot V\left(A\right)+2M\cdot\frac{\varepsilon}{4M}=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\end{align*}\]ושוב ממשפט 1.5 נקבל ש-\(h\circ f\) אינטגרבילית על \(A\).
מסקנה 1.23. אי-שוויון המשולש האינטגרלי אם \(f\) אינטגרבילית על \(A\) אז מתקיים:\[
\left|\intop_{A}f\left(x\right)dx\right|\leq\intop_{A}\left|f\left(x\right)\right|dx
\]
\(\:\)
2 מידה אפס ואינטגרביליות (משפט לבג)
2.1 הגדרות
הגדרה 2.1. מידה אפס נאמר שקבוצה \(E\subseteq\MKreal^{k}\) היא קבוצה ממידה אפס אם לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת סדרת תיבות סגורות \(\left(B_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך שמתקיים:\[\begin{align*}
E & \subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n} & \sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right) & <\varepsilon
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
מידה אפס תמיד מוגדרת לפי המרחב שבו אנחנו נמצאים: הקבוצה \(\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\) אינה ממידה אפס מפני שהיא תת-קבוצה של \(\MKreal^{2}\), אבל הקבוצה \(\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\times\left\{ 0\right\} \) היא קבוצה ממידה אפס מפני שהיא תת-קבוצה של \(\MKreal^{3}\).
\(\clubsuit\)
לבג מידת של קבוצה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) היא:\[
\inf\left\{ \begin{array}{c|c}
{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right)} & {\displaystyle A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n},\ n\in\MKnatural\ \text{היא תיבה לכל}\ B_{n}}\end{array}\right\}
\]כלומר מידת לבג של קבוצה היא מיצוי מבחוץ שלה ע"י תיבות.
\(\:\)
2.2 משפט לבג
טענה 2.2. תת-קבוצה של קבוצה ממידה אפס גם היא ממידה אפס.
טענה 2.3. איחוד סופי או בן-מנייה של קבוצות ממידה אפס הוא קבוצה ממידה אפס.
מסקנה 2.4. כל קבוצה בת-מנייה היא קבוצה ממידה אפס.
משפט 2.5. משפט לבג3ערך בוויקיפדיה: לבג אנרי. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה, \(f\) אינטגרבילית על \(A\) אם"ם קבוצת נקודות האי-רציפות של \(f\) היא ממידה אפס.
הוכחה. \(\:\)
\(\Leftarrow\)
נניח ש-\(f\) אינטגרבילית על \(A\), ותהא \(g:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(a\in A\))4נזכור שהקוטר של קבוצה \(S\) במרחב מטרי הוא \(\MKdiam\left(S\right):=\sup\left\{ d\left(x,y\right)\mid x,y\in S\right\} \), כלומר לכל \(0<r\in\MKreal\) מתקיים:\[
\MKdiam\left(f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\right)=\sup_{x,y\in B_{r}\left(a\right)\cap A}\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|=\sup_{x\in B_{r}\left(a\right)\cap A}f\left(x\right)-\inf_{x\in B_{r}\left(a\right)\cap A}f\left(x\right)
\]:\[
g\left(a\right):=\lim_{r\rightarrow0^{+}}\MKdiam\left(f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\right)
\]\(g\) אכן מוגדרת היטב מפני שלכל \(a\in A\) הפונקציה \(r\mapsto\MKdiam\left(f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\right)\) מונוטונית עולה וחסומה5מההערה הקודמת ומהיות \(f\) חסומה נובע שהפונקציה \(r\mapsto\MKdiam\left(f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\right)\) אכן חסומה. בסביבה ימנית של \(0\), ומכאן שהגבול החד-צדדי הנ"ל קיים ב-\(0\).
נסמן \(C:=\left\{ x\in A\mid g\left(x\right)>0\right\} \) ו-\(C_{n}:=\left\{ x\in A\mid g\left(x\right)>\frac{1}{n}\right\} \), א"כ מתקיים:\[
C=\bigcup_{n=1}^{\infty}C_{n}
\]כעת נשים לב לכך שלכל \(x\in A\) מתקיים \(g\left(x\right)\geq0\) ובנוסף \(g\left(x\right)=0\) אם"ם \(f\) רציפה ב-\(x\), כלומר \(C\) היא קבוצת נקודות האי-רציפות של \(f\). נניח בשלילה ש-\(C\) אינה ממידה אפס, מכאן שע"פ טענה 2.2 קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(C_{n}\) אינה ממידה אפס. א"כ יהיו \(n\in\MKnatural\) ו-\(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך שלכל סדרת תיבות סגורות \(\left(B_{l}\right)_{l=1}^{\infty}\) המקיימת \(C_{n}\subseteq\bigcup_{l=1}^{\infty}B_{l}\) מתקיים \(\sum_{l=1}^{\infty}V\left(B_{l}\right)\geq\varepsilon\).
כעת תהא \(P\) חלוקה של \(A\), ותהיינה \(A_{1},A_{2},\ldots,A_{r}\) כל התיבות הנוצרות ע"י חלוקה זו; מהשורה הקודמת ומהעובדה ש-\(\partial A_{i}\) היא ממידה אפס לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) נובע כי:\[
\sum_{A_{i}^{\circ}\cap C_{n}\neq\emptyset}V\left(A_{i}\right)\geq\varepsilon
\]ולכן מהגדרת \(g\) נובע כי:\[\begin{align*}
\overline{S}\left(f,P\right)-\underline{s}\left(f,P\right) & =\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot\left(\sup_{x\in A_{i}}f\left(x\right)-\inf_{x\in A_{i}}f\left(x\right)\right)\geq\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot\left(\sup_{x\in A_{i}^{\circ}}f\left(x\right)-\inf_{x\in A_{i}^{\circ}}f\left(x\right)\right)\\
& \geq\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot\sup_{x\in A_{i}^{\circ}}g\left(x\right)=\sum_{A_{i}^{\circ}\cap C_{n}\neq\emptyset}V\left(A_{i}\right)\cdot\sup_{x\in A_{i}^{\circ}}g\left(x\right)+\sum_{A_{i}^{\circ}\cap C_{n}=\emptyset}V\left(A_{i}\right)\cdot\sup_{x\in A_{i}^{\circ}}g\left(x\right)\\
& \geq\sum_{A_{i}^{\circ}\cap C_{n}\neq\emptyset}V\left(A_{i}\right)\cdot\frac{1}{n}+\sum_{A_{i}^{\circ}\cap C_{n}=\emptyset}V\left(A_{i}\right)\cdot0=\frac{1}{n}\cdot\sum_{A_{i}^{\circ}\cap C_{n}\neq\emptyset}V\left(A_{i}\right)\geq\frac{\varepsilon}{n}
\end{align*}\]בסתירה לכך ש-\(f\) אינטגרבילית על \(A\). מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(C\) ממידה אפס כנדרש.
\(\Rightarrow\)
תהא \(D\subseteq A\) קבוצת נקודות האי-רציפות של \(f\), ונניח ש-\(D\) ממידה אפס. יהי \(M\in\MKreal\) כך ש-\(\left|f\left(x\right)\right|\leq M\) לכל \(x\in A\), יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\), ותהא \(\left(B_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת תיבות סגורות המקיימת6כדי ש-\(D\) תהיה מוכלת באיחוד הפנימים של התיבות נוכל לקחת סדרת תיבות סגורות עבור \(2^{-k}\cdot\frac{\varepsilon}{4M}\), ואז להתבונן על מתיחת התיבות הללו פי \(2\) בכל כיוון.:\[\begin{align*}
D & \subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}^{\circ} & \sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right) & <\frac{\varepsilon}{4M}
\end{align*}\]לכל \(x\in A\setminus D\) קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(y\in B_{\delta}\left(x\right)\) מתקיים \(\left|f\left(y\right)-f\left(x\right)\right|<\frac{\varepsilon}{4\cdot V\left(A\right)}\) (כי \(f\) רציפה ב-\(x\)), ולכן גם \(\left|f\left(y\right)-f\left(z\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\) לכל \(y,z\in B_{\delta}\left(x\right)\).
מכאן שלכל \(x\in A\setminus D\) קיימת תיבה סגורה \(C_{x}\) כך ש-\(x\in C_{x}^{\circ}\) ו-\(\left|f\left(y\right)-f\left(z\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\) לכל \(y,z\in C_{x}^{\circ}\), א"כ לכל \(x\in A\setminus D\) נסמן ב-\(C_{x}\) תיבה כזו.\[
\Rightarrow A\subseteq\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}^{\circ}\right)\cup\left(\bigcup_{x\in A\setminus D}C_{x}^{\circ}\right)
\]\(A\) היא תיבה סגורה וככזו היא קומפקטית, א"כ יהיו \(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r}\in\MKnatural\) ו-\(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}\in A\setminus D\) כך שמתקיים:\[
A\subseteq\left(\bigcup_{i=1}^{r}B_{n_{i}}^{\circ}\right)\cup\left(\bigcup_{i=1}^{m}C_{x_{i}}^{\circ}\right)
\]
תהא \(P\) חלוקה של \(A\) המכילה את כל הקודקודים של התיבות \(B_{n_{1}},B_{n_{2}},\ldots,B_{n_{r}},C_{x_{1}},C_{x_{2}},\ldots,C_{x_{m}}\). תהיינה \(A_{1},A_{2},\ldots,A_{s}\) כל התיבות הנוצרות ע"י החלוקה \(P\), מכאן שלכל \(s\geq j\in\MKnatural\) מתקיימת לפחות אחת משתי האפשרויות הבאות:
קיים \(r\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(A_{j}\subseteq B_{n_{i}}\) - נסמן ב-\(I_{B}\) את קבוצת האינדקסים המקיימים את אפשרות זו, כלומר \(I_{B}\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,s\right\} \) ולכל \(j\in I_{B}\) קיים \(r\geq i\in n\) כך ש-\(A_{j}\subseteq B_{n_{i}}\).
קיים \(m\geq i\in\MKnatural\) כך ש-\(A_{j}\subseteq C_{x_{i}}\) - נסמן \(I_{C}:=\left\{ 1,2,\ldots,s\right\} \setminus I_{B}\), א"כ \(I_{B}\MKcupdot I_{C}=\left\{ 1,2,\ldots,s\right\} \).
\[\begin{align*}
\Rightarrow\overline{S}\left(f,P\right)-\underline{s}\left(f,P\right) & =\sum_{j=1}^{s}V\left(A_{j}\right)\cdot\left(\sup_{x\in A_{j}}f\left(x\right)-\inf_{x\in A_{j}}f\left(x\right)\right)\\
& =\sum_{j\in I_{B}}V\left(A_{j}\right)\cdot\left(\sup_{x\in A_{j}}f\left(x\right)-\inf_{x\in A_{j}}f\left(x\right)\right)+\sum_{j\in I_{C}}V\left(A_{j}\right)\cdot\left(\sup_{x\in A_{j}}f\left(x\right)-\inf_{x\in A_{j}}f\left(x\right)\right)\\
& \leq\sum_{j\in I_{B}}V\left(A_{j}\right)\cdot2M+\sum_{j\in I_{C}}V\left(A_{j}\right)\cdot\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}=2M\cdot\sum_{j\in I_{B}}V\left(A_{j}\right)+\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\cdot\sum_{j\in I_{C}}V\left(A_{j}\right)\\
& \leq2M\cdot\left(\sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right)\right)+\frac{\varepsilon}{2\cdot V\left(A\right)}\cdot V\left(A\right)<2M\cdot\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\end{align*}\]\(\varepsilon\) הנ"ל היה שרירותי ולכן ממשפט 1.5 נובע ש-\(f\) אינטגרבילית על \(A\).
מסקנה 2.6. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה, תהיינה \(f_{1},f_{2},\ldots,f_{m}:A\rightarrow\MKreal\) פונקציות אינטגרביליות על \(A\), ותהא \(g:\MKreal^{m}\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה. תהא \(h:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(h\left(x\right):=g\left(f_{1}\left(x\right),f_{2}\left(x\right),\ldots,f_{m}\left(x\right)\right)\) לכל \(x\in A\), \(h\) אינטגרבילית על \(A\).
\(\clubsuit\)
בפרט נובע מכאן שמכפלת פונקציות אינטגרביליות היא אינטגרבילית.
למה 2.7. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה אינטגרבילית על \(A\) כך ש-\(f\left(x\right)\geq0\) לכל \(x\in A\). מתקיים \(\intop_{A}f\left(x\right)dx=0\) אם"ם קיימת קבוצה \(E\subseteq A\) ממידה אפס כך ש-\(f\left(x\right)=0\) לכל \(x\in A\setminus E\).
הוכחה. \(\:\)
\(\Leftarrow\) נניח ש-\(\intop_{A}f\left(x\right)dx=0\) ונסמן (לכל \(n\in\MKnatural\)):\[\begin{align*}
E & :=\left\{ x\in A\mid f\left(x\right)>0\right\} \\
E_{n} & :=\left\{ x\in A\mid f\left(x\right)>\frac{1}{n}\right\}
\end{align*}\]כעת נניח בשלילה ש-\(E\) אינה ממידה אפס, ונשים לב לכך שמתקיים:\[
E=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_{n}
\]מכאן שע"פ טענה 2.2 קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(E_{n}\) אינה ממידה אפס, א"כ יהיו \(n\in\MKnatural\) ו-\(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך שלכל סדרת תיבות סגורות \(\left(B_{l}\right)_{l=1}^{\infty}\) המקיימת \(E_{n}\subseteq\bigcup_{l=1}^{\infty}B_{l}\) מתקיים \(\sum_{l=1}^{\infty}V\left(B_{l}\right)\geq\varepsilon\). כעת תהא \(P\) חלוקה של \(A\), ותהיינה \(A_{1},A_{2},\ldots,A_{r}\) כל התיבות הנוצרות ע"י חלוקה זו; מהשורה הקודמת נובע כי:\[
\sum_{A_{i}\cap E_{n}\neq\emptyset}V\left(A_{i}\right)\geq\varepsilon
\]ולכן מהיות \(f\) אי-שלילית נובע כי:\[\begin{align*}
\overline{S}\left(f,P\right) & =\sum_{A_{i}\cap E_{n}\neq\emptyset}V\left(A_{i}\right)\cdot\sup_{x\in A_{i}}f\left(x\right)+\sum_{A_{i}\cap E_{n}=\emptyset}V\left(A_{i}\right)\cdot\sup_{x\in A_{i}}f\left(x\right)\\
& \geq\sum_{A_{i}\cap E_{n}\neq\emptyset}V\left(A_{i}\right)\cdot\frac{1}{n}+\sum_{A_{i}\cap E_{n}=\emptyset}V\left(A_{i}\right)\cdot0=\frac{1}{n}\cdot\sum_{A_{i}\cap E_{n}\neq\emptyset}V\left(A_{i}\right)\geq\frac{\varepsilon}{n}
\end{align*}\]\(P\) הנ"ל הייתה שרירותית ולכן נובע מכאן שמתקיים:\[
\overline{\intop}_{A}f\left(x\right)dx\geq\frac{\varepsilon}{n}>0=\intop_{A}f\left(x\right)dx
\]בסתירה לכך ש-\(f\) אינטגרבילית על \(A\). מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(E\) ממידה אפס כנדרש.
\(\Rightarrow\) נניח שקיימת קבוצה \(E\subseteq A\) ממידה אפס כך ש-\(f\left(x\right)=0\) לכל \(x\in A\setminus E\). מכאן שלכל תיבה סגורה \(B\subseteq A\) כך ש-\(V\left(B\right)>0\) קיימת נקודה \(x\in B\) כך ש-\(f\left(x\right)=0\), ולפיכך כל סכום תחתון של \(f\) על \(A\) הוא \(0\). נתון ש-\(f\) אינטגרבילית על \(A\) ולכן מהשורה הקודמת נובע כי:\[
\intop_{A}f\left(x\right)dx=\underline{\intop}_{A}f\left(x\right)dx=0
\]
מסקנה 2.8. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה ותהינה \(f,g:A\rightarrow\MKreal\) פונקציות אינטגרביליות על \(A\), מתקיים \(\intop_{A}f\left(x\right)dx=\intop_{A}g\left(x\right)dx\) אם"ם קיימת קבוצה \(E\subseteq A\) ממידה אפס כך ש-\(f\left(x\right)=g\left(x\right)\) לכל \(x\in A\setminus E\).
2.3 טענות נוספות על קבוצות ממידה אפס
טענה 2.9. תהא \(h:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה רציפה לפי ליפשיץ, לכל קבוצה \(E\subseteq\MKreal^{k}\) ממידה אפס גם \(h\left(E\right)\) ממידה אפס.
הוכחה. בהוכחה זו נעבוד בנורמת \(\ell_{\infty}\), כלומר הכדורים שלנו יהיו קוביות. יהי \(M\in\MKreal\) כך ש-\(\left\Vert h\left(x\right)-h\left(y\right)\right\Vert _{\infty}\leq M\cdot\left\Vert x-y\right\Vert _{\infty}\), ותהא \(E\) קבוצה ממידה אפס. יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ותהא \(\left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת קוביות כך שמתקיים:\[\begin{align*}
E & \subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{n} & \sum_{n=1}^{\infty}V\left(C_{n}\right) & <\frac{\varepsilon}{2^{k}M^{k}}
\end{align*}\]תהא \(\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה כך ש-\(x_{n}\in C_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\), ותהא \(\left(r_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרה אורכי המקצועות של \(\left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\). מכאן שלכל \(y\in E\) קיים \(n\in\MKnatural\) כך שמתקיים \(\left\Vert y-x_{n}\right\Vert _{\infty}\leq\MKdiam\left(C_{n}\right)=r_{n}\), ולכן גם \(\left\Vert f\left(y\right)-f\left(x_{n}\right)\right\Vert _{\infty}\leq M\cdot\left\Vert y-x_{n}\right\Vert _{\infty}\leq M\cdot r_{n}\).\[
\Rightarrow f\left(E\right)\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}\hat{B_{M\cdot r_{n}}}\left(f\left(x_{n}\right)\right)
\]והרי:\[
\sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{M\cdot r_{n}}\left(f\left(x_{n}\right)\right)\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(2M\cdot r_{n}\right)^{k}=2^{k}M^{k}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\left(r_{n}\right)^{k}=2^{k}M^{k}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}V\left(C_{n}\right)<2^{k}M^{k}\cdot\frac{\varepsilon}{2^{k}M^{k}}=\varepsilon
\]ולכן ע"פ הגדרה \(f\left(E\right)\) ממידה אפס.
מסקנה 2.10. בפרט לכל העתקה ליניארית \(T:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{k}\) ולכל קבוצה \(E\subseteq\MKreal^{k}\) ממידה אפס גם \(T\left(E\right)\) ממידה אפס.
מסקנה 2.11. כל תת-מרחב ממש של \(\MKreal^{k}\) הוא ממידה אפס.
טענה 2.12. תהא \(K\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה קומפקטית, ותהא \(f:K\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה; הגרף של \(f\) (שהוא תת-קבוצה של \(\MKreal^{k+1}\)) הוא קבוצה ממידה אפס.
צריך לכתוב הוכחה.
מסקנה 2.13. תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה הניתנת להצגה כאיחוד סופי או בן-מנייה של קבוצות קומפקטיות, ותהא \(f:S\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה; הגרף של \(f\) (שהוא תת-קבוצה של \(\MKreal^{k+1}\)) הוא קבוצה ממידה אפס.
\(\clubsuit\)
בפרט פונקציה הגרף של פונקציה רציפה \(f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal\).
\(\:\)
3 אינטגרביליות על קבוצות בעלות נפח
3.1 הגדרות
למה 3.1. לכל תיבה סגורה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) מתקיים \(\intop_{A}1\ dx=V\left(A\right)\).
תזכורת:
לכל קבוצה \(S\) מגדירים את הפונקציה \(\chi_{S}\) ע"י (לכל \(x\) בקבוצה כלשהי7כמובן שבד"כ יש קשר בין \(S\) לקבוצה המדוברת (במקרה שלנו נגדיר את \(\chi_{S}\) על \(\MKreal^{k}\)), אבל הנקודה היא שזה משתנה לפי ההקשר.):\[
\chi_{S}\left(x\right):=\begin{cases}
1 & x\in S\\
0 & x\notin S
\end{cases}
\]
\(\clubsuit\)
נשים לב לכך שע"פ הגדרה זו כל תיבה סגורה היא אכן בעלת נפח, והנפח שלה הוא אכן מכפלת אורכי המקצועות שלה כפי שהגדרנו.
\(\clubsuit\)
למעשה היינו רוצים לדבר על \(\chi_{S}\cdot f\) במקום על \(f_{S}\) אלא ש-\(\left(\chi_{S}\cdot f\right)\left(x\right)\) אינו מוגדר עבור \(x\notin S\).
למה 3.2. תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה; אם קיימת תיבה סגורה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) כך ש-\(S\subseteq A\) ו-\(\chi_{S}\) אינטגרבילית על \(A\), אז \(\chi_{S}\) אינטגרבילית על כל תיבה סגורה המכילה את \(S\), ולכל שתי תיבות \(A,B\subseteq\MKreal^{k}\) כאלה מתקיים:\[
\intop_{A}\chi_{S}\left(x\right)dx=\intop_{B}\chi_{S}\left(x\right)dx
\]
הגדרה 3.3. נאמר שקבוצה \(S\subseteq\MKreal^{k}\) היא בעלת נפח אם קיימת תיבה סגורה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) כך ש-\(S\subseteq A\) ו-\(\chi_{S}\) אינטגרבילית על \(A\), ובמקרה כזה הנפח של \(S\) יוגדר ע"י:\[
V\left(S\right):=\intop_{A}\chi_{S}\left(x\right)dx
\]
למה 3.4. תהיינה \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח ו-\(f:S\rightarrow\MKreal\) פונקציה, ותהא \(f_{S}:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(x\in\MKreal^{k}\)):\[
f_{S}\left(x\right):=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\in S\\
0 & x\notin S
\end{cases}
\]אם קיימת תיבה סגורה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) כך ש-\(S\subseteq A\) ו-\(f_{S}\) אינטגרבילית על \(A\), אז \(f_{S}\) אינטגרבילית על כל תיבה סגורה המכילה את \(S\), ולכל שתי תיבות \(A,B\subseteq\MKreal^{k}\) כאלה מתקיים:\[
\intop_{A}f_{S}\left(x\right)dx=\intop_{B}f_{S}\left(x\right)dx
\]
הגדרה 3.5. תהיינה \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח ו-\(f:S\rightarrow\MKreal\) פונקציה, ותהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה כך ש-\(S\subseteq\MKreal^{k}\). נאמר ש-\(f\)אינטגרבילית על \(S\) אם האינטגרל \(\intop_{A}f_{S}\left(x\right)dx\) קיים (\(f_{S}\) מוגדרת כבלמה הקודמת), ובמקרה כזה נגדיר את האינטגרל של \(f\) על \(S\) ע"י:\[
\intop_{S}f\left(x\right)dx:=\intop_{A}f_{S}\left(x\right)dx
\]
מסקנה 3.6. לכל קבוצה בעלת נפח \(S\subseteq\MKreal^{k}\) מתקיים \(\intop_{S}1\ dx=V\left(S\right)\).
\(\:\)
3.2 התחלה
משפט 3.7. תכונות בסיסיות של האינטגרל תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח, ותהיינה \(f,g:S\rightarrow\MKreal\) פונקציות אינטגרביליות על \(S\).
ליניאריות האינטגרל -
לכל \(c\in\MKreal\) מתקיים \(c\cdot\intop_{S}f\left(x\right)dx=\intop_{S}\left(c\cdot f\right)\left(x\right)dx\).
מתקיים \(\intop_{S}\left(f\pm g\right)\left(x\right)dx=\intop_{S}f\left(x\right)dx\pm\intop_{S}g\left(x\right)dx\).
מונוטוניות האינטגרל -
אם \(f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\) לכל \(x\in S\) אז:\[
\intop_{S}f\left(x\right)dx\leq\intop_{S}g\left(x\right)dx
\]
אם \(f\left(x\right)\geq0\) לכל \(x\in S\) אז לכל קבוצה בעלת נפח \(T\subseteq S\) מתקיים:\[
\intop_{T}f\left(x\right)dx\leq\intop_{S}f\left(x\right)dx
\]
טענה 3.8. תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח ותהא \(f:S\rightarrow\MKreal\) פונקציה, אם \(f\) אינטגרבילית על \(S\) אז \(f\) חסומה ומתקיים:\[
\left|\intop_{S}f\left(x\right)dx\right|\leq V\left(S\right)\cdot\sup_{x\in S}\left|f\left(x\right)\right|
\]בפרט, אם \(V\left(S\right)=0\) אז \(\intop_{S}f\left(x\right)dx=0\).
טענה 3.9. כל קבוצה בעלת נפח היא קבוצה חסומה.
טענה 3.10. לכל שתי קבוצות בעלות נפח \(S,T\subseteq\MKreal^{k}\) כך ש-\(S\subseteq T\) מתקיים \(V\left(S\right)\leq V\left(T\right)\).
3.3 מסקנות ממשפט לבג
מסקנה 3.11. קבוצה \(S\subseteq\MKreal^{k}\) היא בעלת נפח אם"ם השפה של \(S\) (\(\partial S\)) היא קבוצה ממידה אפס.
מסקנה 3.12. תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח ותהא \(f:S\rightarrow\MKreal\) פונקציה חסומה, \(f\) אינטגרבילית על \(S\) אם"ם קבוצת נקודות האי-רציפות של \(f\) היא ממידה אפס.
מסקנה 3.13. תהיינה \(S,T\subseteq\MKreal^{k}\) שתי קבוצות בעלות נפח.
\(S\cup T\) ו-\(S\cap T\) בעלות נפח.
תהא \(f:S\cup T\rightarrow\MKreal\) פונקציה חסומה, \(f\) אינטגרבילית על \(S\cup T\) אם"ם היא אינטגרבילית על \(S\) ועל \(T\) בנפרד, ובמקרה כזה היא אינטגרבילית גם על \(S\cap T\) ומתקיים:\[
\intop_{S\cup T}f\left(x\right)dx=\intop_{S}f\left(x\right)dx+\intop_{T}f\left(x\right)dx-\intop_{S\cap T}f\left(x\right)dx
\]
מהגדרה מתקיים \(\partial\left(S\cup T\right)\subseteq\left(\partial S\right)\cup\left(\partial T\right)\) ו-\(\partial\left(S\cap T\right)\subseteq\left(\partial S\right)\cup\left(\partial T\right)\). ע"פ מסקנה 3.5\(\partial S\) ו-\(\partial T\) הן קבוצות ממידה אפס, מכאן ש-\(\left(\partial S\right)\cup\left(\partial T\right)\) ממידה אפס, וממילא גם \(\partial\left(S\cup T\right)\) ו-\(\partial\left(S\cap T\right)\) ממידה אפס, ושוב ממסקנה 3.5 נקבל ש-\(S\cup T\) ו-\(S\cap T\) הן קבוצות בעלות נפח.
אם \(f\) אינטגרבילית על \(S\cup T\) אז ע"פ מסקנה 3.6 קבוצת נקודות האי-רציפות שלה היא ממידה אפס, ולכן גם קבוצות נקודות האי-רציפות שלה על \(S\) ועל \(T\) בנפרד הן קבוצות ממידה אפס (כי הן מוכלות בזו של \(S\cup T\)), ושוב ממסקנה 3.6 נקבל ש-\(f\) אינטגרבילית על \(S\) ועל \(T\) בנפרד. באותו אופן אם\(f\) אינטגרבילית על \(S\) ועל \(T\) בנפרד אז קבוצות נקודות האי-רציפות שלה על \(S\) ועל \(T\) בנפרד הן קבוצות ממידה אפס, ולכן גם קבוצת נקודות האי-רציפות שלה על \(S\cup T\) כזו (כי מוכלת באיחוד של שתי הראשונות), ושוב נקבל ש-\(f\) אינטגרבילית על \(S\cup T\). תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה כך ש-\(S\cup T\subseteq S\), ותהיינה \(f_{S},f_{T},f_{S\cap T}:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal\) פונקציות המוגדרות ע"י (לכל \(x\in\MKreal^{k}\)):\[\begin{align*}
f_{S}\left(x\right) & :=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\in S\\
0 & x\notin S
\end{cases} & f_{S\cap T}\left(x\right) & :=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\in S\cap T\\
0 & x\notin S\cap T
\end{cases}\\
f_{T}\left(x\right) & :=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\in T\\
0 & x\notin T
\end{cases} & f_{S\cup T}\left(x\right) & :=\begin{cases}
f\left(x\right) & x\in S\cup T\\
0 & x\notin S\cup T
\end{cases}
\end{align*}\]נשים לב לכך שלכל \(x\in\MKreal^{k}\) מתקיים:\[
f_{S\cup T}\left(x\right)=f_{S}\left(x\right)+f_{T}\left(x\right)-f_{S\cap T}\left(x\right)
\]ולכן ע"פ הגדרה מתקיים:\[\begin{align*}
\intop_{S\cup T}f\left(x\right)dx=\intop_{A}f_{S\cup T}\left(x\right)dx & =\intop_{A}f_{S}\left(x\right)+f_{T}\left(x\right)-f_{S\cap T}\left(x\right)dx\\
& =\intop_{A}f_{S}\left(x\right)+\intop_{A}f_{T}\left(x\right)dx-\intop_{A}f_{S\cap T}\left(x\right)dx\\
& =\intop_{S}f\left(x\right)+\intop_{T}f\left(x\right)dx-\intop_{S\cap T}f\left(x\right)dx
\end{align*}\]
נובע ישירות מהסעיף הקודם עבור \(f\equiv1\).
3.4 אינטגרביליות על פנים וסגור
טענה 3.14. תהיינה \(B_{1},B_{2},\ldots,B_{n}\subseteq\MKreal^{k}\) תיבות סגורות, קיימות תיבות סגורות \(C_{1},C_{2},\ldots,C_{m}\subseteq\MKreal^{k}\) המקיימות:
\(C_{i}^{\circ}\cap C_{j}^{\circ}=\emptyset\) לכל \(m\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\).
טענה 3.15. קיימות תיבות סגורות \(B_{1},B_{2},\ldots,B_{n}\) המקיימות:
\(B_{i}^{\circ}\cap B_{j}^{\circ}=\emptyset\) לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\).
\(\MKar\left(B_{i}\right)\leq2\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
\({\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^{n}B_{n}}\).
הוכחה. הסעיפים הראשון והשלישי מתקבלים היישר מן הטענה הקודמת (3.8), כדי להשיג את הססעיף השני נפעיל את האלגוריתם הרקורסיבי הבא:
עבור כל אחת מהתיבות שאינן מקיימות את סעיף2, "נחתוך" את התיבה באמצע המקצוע הארוך ביותר של התיבה. התוצאה היא שתי תיבות שכל מקצועותיהן זהות לאלו של המקורית מלבד המקצוע המתאים למקצוע הארוך ביותר (במקורית) שאורכה הוא חצי מהאורך המקורי. מכיוון שבשלב הקודם היה אורך המקצוע הארוך ביותר לפחות פי שניים מאורך המקצוע הקצר ביותר, נדע שחצי אורכה עדיין גדול מאורך המקצוע הקצר ביותר ולכן בהכרח לא הגדלנו את יחס האורך-רוחב של התיבה.
כל עוד נותרו תיבות שאינן מקיימות את סעיף2נחזור על השלב הקודם על כל התיבות שיש לנו כעת (כולל אלו שנוצרו מחציית התיבות המקוריות בשלב הקודם). תהליך זה מוכרח להיעצר מפני שלכל תיבה ולכל התיבות שתיווצרנה ממנה בתהליך זה (מהגדרה כולן זהות זו לזו בכל שלב ולכן די לדבר על אחת מהן), היחס בין המקצוע אותו אנו חוצים לבין הקצר ביותר קטן פי שניים בכל שלב, ומכיוון שכך הרי שבשלב כלשהו התהליך ייעצר עבור מקצוע זה, כעת היות שלתיבה יש מספר סופי של מקצועות נדע שהתהליך ייעצר בשלב כלשהו עבור כל המקצועות ביחד.
טענה 3.16. יהי \(1\leq M\in\MKreal\), לכל תיבה סגורה \(B\subseteq\MKreal^{k}\) כך ש-\(\MKar\left(B\right)\leq M\) קיימת קובייה סגורה \(C\subseteq\MKreal^{k}\) המקיימת:\[\begin{align*}
& B\subseteq C & V\left(C\right)\leq M^{k-1}\cdot V\left(B\right)
\end{align*}\]
הוכחה. תהא \(B\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה כך ש-\(\MKar\left(B\right)\leq M\), מהגדרה \(B\) מוכלת בקובייה סגורה \(C\subseteq\MKreal^{k}\) שאורך כל מקצוע שלה הוא כאורך המקצוע הארוך ביותר של \(B\), תהא \(C\) כנ"ל ונסמן את אורך המקצוע שלה ב-\(d\). נסמן ב-\(h\) את אורך המקצוע הקצר ביותר של \(B\), מהנתון \(\text{ar}\left(B\right)\leq M\) נובע שקיימת תיבה \(\tilde{C}\) שאורך כל המקצועות שלה ב-\(k-1\) ממדים הוא \(M\cdot h\) ובממד האחרון אורך המקצועות שלה הוא \(d\), כך ש-\(C\subseteq\tilde{C}\).\[
\Rightarrow V\left(C\right)\leq V\left(\tilde{C}\right)=\left(M\cdot h\right)^{k-1}\cdot d=M^{k-1}\cdot{\color{red}h^{k-1}\cdot d}\leq M^{k-1}\cdot{\color{red}V\left(B\right)}
\]
מסקנה 3.17. יהי \(1\leq M\in\MKreal\), לכל תיבה סגורה \(B\subseteq\MKreal^{k}\) כך ש-\(\MKar\left(B\right)\leq M\) ולכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת קובייה \(C\subseteq\MKreal^{k}\) המקיימת:\[\begin{align*}
& B\subseteq C^{\circ} & V\left(C\right)\leq M^{k-1}\cdot V\left(B\right)+\varepsilon
\end{align*}\]
הוכחה. תהא \(B\subseteq\MKreal^{k}\) תיבה סגורה כך ש-\(\MKar\left(B\right)\leq M\), ותהא \(\tilde{C}\subseteq\MKreal^{k}\) קובייה סגורה המקיימת:\[\begin{align*}
& B\subseteq\tilde{C} & V\left(\tilde{C}\right)\leq M^{k-1}\cdot V\left(B\right)
\end{align*}\]נסמן ב-\(d\) את אורך המקצוע של \(\tilde{C}\), וכמו כן נסמן:\[
S:=\max\left\{ 1,\sum_{i=1}^{k}\begin{pmatrix}k\\
\left\lceil \frac{k}{2}\right\rceil
\end{pmatrix}\cdot d^{i}\right\}
\]כעת יהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\) ונניח בהג"כ ש-\(\varepsilon<1\), ותהא \(C\subseteq\MKreal^{k}\) קובייה סגורה שאורך המקצוע שלה הוא \(d+\frac{\varepsilon}{S}\) כך ש-\(\tilde{C}\subseteq C^{\circ}\).\[
\Rightarrow V\left(C\right)=\left(d+\frac{\varepsilon}{S}\right)^{k}=\sum_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}k\\
i
\end{pmatrix}\cdot d^{i}\cdot\left(\frac{\varepsilon}{S}\right)^{k-i}\leq d^{k}+\frac{\varepsilon}{S}\cdot\sum_{i=1}^{k}\begin{pmatrix}k\\
\left\lceil \frac{k}{2}\right\rceil
\end{pmatrix}\cdot d^{i}\leq d^{k}+\frac{\varepsilon}{S}\cdot S=d^{k}+\varepsilon=V\left(\tilde{C}\right)+\varepsilon\leq M^{k-1}\cdot V\left(B\right)+\varepsilon
\]
מסקנה 3.18. תהא \(E\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה ממידה אפס. לכל \(0<\varepsilon,\delta\in\MKreal\) קיימת סדרה \(\left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) של קוביות סגורות כך שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(V\left(C_{n}\right)<\delta\), ובנוסף:\[\begin{align*}
& E\subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{n}^{\circ} & \sum_{n=1}^{\infty}V\left(C_{n}\right) & <\varepsilon
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
כמובן שקיום כיסוי של קוביות פתוחות גורר קיום של כיסוי ע"י קוביות סגורות.
\(\clubsuit\)
מכאן שהאינטגרל של כל פונקציה חסומה, על קבוצה בעלת נפח ממידה אפס, הוא \(0\).
הוכחה. יהיו \(0<\varepsilon,\delta\in\MKreal\) ותהא \(\left(B_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת תיבות סגורות כך שמתקיים:\[\begin{align*}
E & \subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{n} & \sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right) & <\frac{\varepsilon}{2^{k}}
\end{align*}\]מטענה 3.9 נובע שלכל \(n\in\MKnatural\) קיימות תיבות סגורות \(B_{n,1},B_{n,2},\ldots,B_{n,s_{n}}\) כך שמתקיים:
\(B_{n,i}^{\circ}\cap B_{n,j}^{\circ}=\emptyset\) לכל \(s_{n}\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\).
\(\MKar\left(B_{n,i}\right)\leq2\) לכל \(s_{n}\geq i\in\MKnatural\).
הוכחה. ולכן ע"פ המסקנה הקודמת (3.11) נובע שלכל \(n\in\MKnatural\) קיימות קוביות סגורות \(C_{n,1},C_{n,2},\ldots,C_{n,s_{n}}\) יתקיים:\[\begin{align*}
& B_{n}\subseteq\bigcup_{i=1}^{s_{n}}C_{n,i}^{\circ} & \sum_{i=1}^{s_{n}}V\left(C_{n,i}\right)\leq2^{k-1}\cdot V\left(B_{n}\right)+\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}
\end{align*}\]כל קובייה כזו ניתנת לחלוקה ל-\(N^{k}\) קוביות סגורות בעלות פנימים זרים שאורך המקצוע של כל אחת מהן הוא \(\frac{1}{N^{k}}\) מאורך המקצוע של הקובייה המקורית, לכן ניתן לחלק כל קובייה כזו לקוביות בעלות פנימים זרים שנפח כל אחת מהן קטן מ-\(\delta\). איחוד בן-מנייה של קבוצות סופיות הוא בן-מנייה ולכן נובע מזה שקיימת סדרת קוביות \(\left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) כך ש-\(V\left(C_{n}\right)<\delta\) לכל \(n\in\MKnatural\) ובנוסף:\[\begin{align*}
E & \subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{n}\subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{n}^{\circ}\\
\sum_{n=1}^{\infty}V\left(C_{n}\right) & <\sum_{n=1}^{\infty}\left(2^{k-1}\cdot V\left(B_{n}\right)+\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}\right)=2^{k-1}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}<2^{k-1}\cdot\frac{\varepsilon}{2^{k}}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\end{align*}\]כנדרש.
טענה 3.19. תהא \(K\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה קומפקטית ובעלת נפח, ותהא \(\left(B_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת תיבות סגורות כך שהטור \({\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right)}\) מתכנס ו-\({\displaystyle K\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}^{\circ}}\). קיימת סדרה אינדקסים סופית ועולה ממש \(\left(n_{j}\right)_{j=1}^{m}\) כך שמתקיים:\[\begin{align*}
K & \subseteq\bigcup_{j=1}^{m}B_{n_{j}}^{\circ} & V\left(K\right) & \leq\sum_{j=1}^{m}V\left(B_{n_{j}}\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right)
\end{align*}\]
הוכחה. מהקומקפטיות של \(K\) נובע שקיימת סדרת אינקסים סופית ועולה ממש \(\left(n_{j}\right)_{j=1}^{m}\) כך ש-\({\displaystyle K\subseteq\bigcup_{j=1}^{m}B_{n_{j}}^{\circ}}\), וע"פ טענה 3.4 כל סדרה כזו מקיימת:\[\begin{align*}
K & \subseteq\bigcup_{j=1}^{m}B_{n_{j}}^{\circ} & V\left(K\right) & \leq\sum_{j=1}^{m}V\left(B_{n_{j}}\right)
\end{align*}\]\(\sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right)\) הוא טור חיובי ולכן \(\sum_{j=1}^{m}V\left(B_{n_{j}}\right)\leq\sum_{n=1}^{\infty}V\left(B_{n}\right)\).
מסקנה 3.20. תהא \(K\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה קומפקטית, אם \(K\) ממידה אפס אז \(K\) בעלת נפח ומתקיים \(V\left(K\right)=0\).
הוכחה. \(K\) קומפקטית, כלומר היא סגורה וחסומה ובפרט \(\partial K\subseteq K\), מהיות \(K\) ממידה אפס נובע ש-\(\partial K\) ממידה אפס ולכן ע"פ מסקנה 3.5\(K\) בעלת נפח. ע"פ מסקנה 3.12, לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיימת סדרה \(\left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) של קוביות סגורות כך שמתקיים:\[\begin{align*}
K & \subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{n}^{\circ} & \sum_{n=1}^{\infty}V\left(C_{n}\right) & <\varepsilon
\end{align*}\]ולכן ע"פ הטענה הקודמת (3.13) לכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) מתקיים \(V\left(K\right)<\varepsilon\), כלומר \(V\left(K\right)=0\).
מסקנה 3.21. תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח, אם \(S\) ממידה אפס אז \(V\left(S\right)=0\).
מסקנה 3.22. תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח, מתקיים \(V\left(S\right)>0\) אם"ם \(S^{\circ}\neq\emptyset\).
הוכחה. \(\:\)
\(\Leftarrow\) \(S\) היא קבוצה בעלת נפח ולכן היא חסומה (טענה 3.3), מכאן שגם \(\partial S\) חסומה ומכיוון ש-\(\partial S\) גם סגורה הרי שהיא קומפקטית. מהיות \(S\) בעלת נפח נובע ש-\(\partial S\) ממידה אפס, ולכן ע"פ המסקנה הקודמת (3.14) \(\partial S\) בעלת נפח ו-\(V\left(\partial S\right)=0\). כעת, אם \(S^{\circ}=\emptyset\) אז \(S\subseteq\partial S\) ומטענה 3.4 ינבע ש-\(V\left(S\right)=0\); מכאן שאם \(V\left(S\right)>0\) אז \(S^{\circ}\neq\emptyset\).
\(\Rightarrow\) נניח ש-\(S^{\circ}\neq\emptyset\), מכאן שקיימת תיבה סגורה \(A\subseteq S^{\circ}\subseteq S\) כך ש-\(V\left(A\right)>0\), ולכן ע"פ טענה 3.4 גם \(V\left(S\right)>0\).
מסקנה 3.23. תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח ותהא \(f:\overline{S}\rightarrow\MKreal\) פונקציה, התנאים הבאים שקולים:
\(f\) אינטגרבילית על \(S\).
\(f\) אינטגרבילית על \(\overline{S}\).
\(f\) אינטגרבילית על \(S^{\circ}\).
ואם אחד מהם מתקיים אז \(\intop_{S}f\left(x\right)dx=\intop_{\overline{S}}f\left(x\right)dx=\intop_{S^{\circ}}f\left(x\right)dx\).
הוכחה. אנחנו יודעים ש-\(\partial\left(\overline{S}\right)\subseteq\partial S\) ו-\(\partial\left(S^{\circ}\right)\), ומכאן שע"פ מסקנה 3.5 אם \(S\) בעלת נפח אז גם \(\overline{S}\) ו-\(S^{\circ}\) בעלות נפח. מהגדרה מתקיים \(S\setminus S^{\circ},\overline{S}\setminus S\subseteq\overline{S}\setminus S^{\circ}=\partial S\), ומהיות \(S\) בעלת נפח נובע ש-\(\partial S\) ממידה אפס, וממילא גם \(\overline{S}\setminus S^{\circ}\), \(S\setminus S^{\circ}\) ו-\(\overline{S}\setminus S\) ממידה אפס. מכאן שע"פ משפט לבג אינטגרביליות של \(f\) על אחת משלוש הקבוצות גוררת את היותה אינטגרבילית על שתי האחרות. כמו כן מתקיים (מסקנה 3.7):\[
\intop_{S^{\circ}}f\left(x\right)dx\leq\intop_{S}f\left(x\right)dx\leq\intop_{\overline{S}}f\left(x\right)dx=\intop_{S^{\circ}}f\left(x\right)dx+\intop_{\partial S}f\left(x\right)dx-\intop_{\emptyset}f\left(x\right)dx\leq\intop_{S^{\circ}}f\left(x\right)dx+0-0=\intop_{S^{\circ}}f\left(x\right)dx
\]\[
\Rightarrow\intop_{S^{\circ}}f\left(x\right)dx=\intop_{S}f\left(x\right)dx=\intop_{\overline{S}}f\left(x\right)dx
\]
מסקנה 3.24. תהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה, אם \(S\) בעלת נפח אז גם \(\overline{S}\) ו-\(S^{\circ}\) בעלות נפח ומתקיים:\[
V\left(S\right)=V\left(\overline{S}\right)=V\left(S^{\circ}\right)
\]
4 אינטגרלים לא אמיתיים
4.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
כמו באינפי'2נרצה גם בקורס זה להגדיר אינטגרלים לא אמיתיים על קבוצות שאינן בעלות נפח ו/או על פונקציות שאינן חסומות.
סימון:
לכל פונקציה \(f:D\rightarrow\MKreal\) (\(D\subseteq\MKreal^{k}\)) נגדיר את הפונקציות \(f^{+},f^{-}:D\rightarrow\MKreal\) ע"י (לכל \(x\in D\)):\[\begin{align*}
f^{+}\left(x\right) & :=\begin{cases}
f\left(x\right) & f\left(x\right)\geq0\\
0 & f\left(x\right)<0
\end{cases}\\
f^{-}\left(x\right) & :=\begin{cases}
0 & f\left(x\right)\geq0\\
-f\left(x\right) & f\left(x\right)<0
\end{cases}
\end{align*}\]א"כ לכל פונקציה \(f\) מתקיים \(f=f^{+}-f^{-}\) ו-\(\left|f\right|=f^{+}+f^{-}\).
\(\clubsuit\)
מדרך ההוכחה של המשפט ניתן לראות שלכל קבוצה פתוחה יש סדרת מיצוי שבה כל אחד מהאיברים הוא איחוד סופי של תיבות סגורות, וניתן להניח גם שהתיבות הללו בעלות פנימים זרים.
\(\clubsuit\)
גם כאן ניתן להניח שכל איבר בשתי הסדרות הנ"ל הוא איחוד סופי של תיבות סגורות בעלות פנימים זרים.
למה 4.1. תהא \(D\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה, ותהא \(f:D\rightarrow\MKreal\) פונקציה; \(f\) רציפה בנקודה \(x\in D\) אם"ם \(f^{+}\) ו-\(f^{-}\) רציפות ב-\(x\).
למה 4.2. תהיינה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה8האם באמת יש צורך בכך ש-\(U\) תהיה פתוחה? בעלת נפח ו-\(f:U\rightarrow\MKreal\) פונקציה חסומה ואי-שלילית. \(f\) אינטגרבילית על \(U\) אם"ם מוגדר החסם העליון9למה אנחנו עובדים רק עם קבוצות קומפקטיות ולא עם סתם קבוצות בעלות נפח?:\[
\sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\intop_{K}f\left(x\right)dx & K\subseteq U,\ \text{קומפקטית ובעלת נפח}\ K\end{array}\right\}
\]ובמקרה כזה הוא שווה ל-\(\intop_{U}f\left(x\right)dx\).
מסקנה 4.3. תהיינה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה בעלת נפח ו-\(f:U\rightarrow\MKreal\) פונקציה חסומה. \(f\) אינטגרבילית על \(U\) אם"ם מוגדרים החסמים העליונים:\[\begin{align*}
M & :=\sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\intop_{K}f^{+}\left(x\right)dx & K\subseteq U,\ \text{קומפקטית ובעלת נפח}\ K\end{array}\right\} \\
m & :=\sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\intop_{K}f^{-}\left(x\right)dx & K\subseteq U,\ \text{קומפקטית ובעלת נפח}\ K\end{array}\right\}
\end{align*}\]ובמקרה כזה מתקיים:\[
\intop_{U}f\left(x\right)dx=M-m
\]
הגדרה 4.4. אינטגרביליות על קבוצה פתוחה10שאינה בהכרח בעלת נפח. תהיינה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה בעלת נפח ו-\(f:U\rightarrow\MKreal\) פונקציה, נאמר ש-\(f\)אינטגרבילית על \(U\) אם מוגדרים החסמים העליונים:\[\begin{align*}
M & :=\sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\intop_{K}f^{+}\left(x\right)dx & K\subseteq U,\ \text{קומפקטית ובעלת נפח}\ K\end{array}\right\} \\
m & :=\sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\intop_{K}f^{-}\left(x\right)dx & K\subseteq U,\ \text{קומפקטית ובעלת נפח}\ K\end{array}\right\}
\end{align*}\]ובמקרה כזה נסמן:\[
\intop_{U}f\left(x\right)dx:=M-m
\]
למה אנחנו כל הזמן עובדים דווקא עם קבוצות פתוחות???
בכיתה הגדרנו רק עבור פונקציות רציפות, אין בזה שום צורך.
מסקנה 4.5. תהא \(f\) פונקציה אינטגרבילית על קבוצה פתוחה \(U\subseteq\MKreal^{k}\), מתקיים:\[
\intop_{U}f\left(x\right)dx=\intop_{U}f^{+}\left(x\right)dx-\intop_{U}f^{-}\left(x\right)dx
\]
הגדרה 4.6. סדרת מיצוי של קבוצה פתוחה תהא \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, סדרה של קבוצות קומפקטיות ובעלות נפח \(\left(K_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) תיקרא סדרת מיצוי של \(U\) אם לכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(K_{n+1}\subseteq K_{n}^{\circ}\) ובנוסף:\[
U=\bigcup_{n=1}^{\infty}K_{n}
\]
משפט 4.7. לכל קבוצה פתוחה יש סדרת מיצוי.
הוכחה. בהוכחה זו נעבוד בנורמת \(\ell_{\infty}\), כלומר הכדורים שלנו יהיו קוביות. תהא \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, מכאן ש-\(C:=\MKreal^{k}\setminus U\) היא קבוצה סגורה. תהא \(f:U\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=\inf\left\{ \left\Vert x-y\right\Vert _{\infty}:y\in U\right\} \) לכל \(x\in U\) (זהו המרחק של \(x\) מ-\(C\)), ולכל \(n\in\MKnatural\) נסמן:\[
D_{n}:=\left\{ x\in U\mid\left\Vert x\right\Vert _{\infty}\leq n,\ f\left(x\right)\geq\frac{1}{n}\right\}
\]מהגדרה מתקיים (לכל \(n\in\MKnatural\)):
הוכחה. אך \(\left(D_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) אינה בהכרח סדרת מיצוי של \(U\), שכן ייתכן שקבוצות אחדות מאיבריה אינן בעלות נפח. לכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(x\in D_{n}\) קיימת תיבה סגורה \(B_{x}\subseteq D_{n+1}^{\circ}\) כך ש-\(x\in B_{x}^{\circ}\) (שכן \(D_{n+1}^{\circ}\) היא קבוצה פתוחה), ומכאן שניתן לכסות את \(D_{n}\) ע"י תיבות פתוחות שהסגור של כל אחת מהן (הקובייה הסגורה המתאימה) מוכל ב-\(D_{n+1}^{\circ}\). \(D_{n}\)היא קבוצה קומפקטית לכל \(n\in\MKnatural\), ולכן נובע מזה שקיימת קבוצה סופית של תיבות פתוחות שהסגור שלכל אחת מהן מוכל ב-\(D_{n+1}^{\circ}\) ואיחודן מכסה את \(D_{n}\); כלומר לכל \(n\in\MKnatural\) קיימת קבוצה סופית של תיבות סגורות המוכלות כל אחת ב-\(D_{n+1}^{\circ}\) ואיחודן מכסה את \(D_{n}\), א"כ לכל \(n\in\MKnatural\) נסמן ב-\(K_{n}\) איחוד כזה של תיבות סגורות11ע"פ טענה 3.8 ניתן להניח שהפנימים של כל שתי תיבות סגורות באיחוד זרים זה לזה.. מהגדרה מתקיים (לכל \(n\in\MKnatural\)):
\(K_{n}\) היא קבוצה קומפקטית (מכיוון שהיא איחוד סופי של קבוצות קומפקטיות).
\(K_{n}\) היא קבוצה בעלת נפח (היא איחוד של תיבות סגורות).
\({\displaystyle U=\bigcup_{n=1}^{\infty}K_{n}}\), מפני שמתקיים \({\displaystyle U=\bigcup_{n=1}^{\infty}D_{n}\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}K_{n}\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}D_{n+1}=\bigcup_{n=1}^{\infty}D_{n}=U}\).
\(K_{n}\subseteq D_{n+1}^{\circ}\subseteq K_{n+1}^{\circ}\), שכן \(D_{n+1}\subseteq K_{n+1}\) ולכן \(D_{n+1}^{\circ}\subseteq K_{n+1}^{\circ}\).
הוכחה. א"כ ע"פ הגדרה \(\left(K_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) היא סדרת מיצוי של \(U\).
משפט 4.8. תהא \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, ותהא \(f:U\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה12למעשה מספיק ש-\(f\) אינטגרבילית על כל תת-קבוצה קומפקטית של \(U\).; \(f\) אינטגרבילית על \(U\) אם"ם לכל סדרת מיצוי \(\left(K_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) של \(U\) קיים הגבול:\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{K_{n}}f\left(x\right)dx
\]ובמקרה כזה מתקיים:\[
\intop_{U}f\left(x\right)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{K_{n}}f\left(x\right)dx
\]
\(\Rightarrow\) נניח שהגבול \(\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{K_{n}}f\left(x\right)dx\) קיים, צריך להסביר למה זה אומר שהגבולות \(\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{K_{n}}f^{+}\left(x\right)dx\) ו-\(\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{K_{n}}f^{-}\left(x\right)dx\) קיימים או להפריך זאת. לכל קבוצה קוממפקטית ובעלת נפח \(K\subseteq U\) קיים \(n\in\MKnatural\) כך ש-\(K\subseteq K_{n}\) ולכן גם13הסדרות שהאיברים ה-\(n\)-יים שלהן הם \(\intop_{K_{n}}f^{\pm}\left(x\right)dx\) הן סדרות עולות (מונוטוניות האינטגרל).:\[\begin{align*}
\intop_{K}f^{+}\left(x\right)dx & \leq\intop_{K_{n}}f^{+}\left(x\right)dx\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{K_{n}}f^{+}\left(x\right)dx\\
\intop_{K}f^{-}\left(x\right)dx & \leq\intop_{K_{n}}f^{-}\left(x\right)dx\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{K_{n}}f^{-}\left(x\right)dx
\end{align*}\]מכאן שקיימים החסמים העליונים הבאים:\[\begin{align*}
& \sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\intop_{K}f^{+}\left(x\right)dx & K\subseteq U,\ \text{קומפקטית ובעלת נפח}\ K\end{array}\right\} \\
& \sup\left\{ \begin{array}{c|c}
\intop_{K}f^{-}\left(x\right)dx & K\subseteq U,\ \text{קומפקטית ובעלת נפח}\ K\end{array}\right\}
\end{align*}\]כלומר \(f^{+}\) ו-\(f^{-}\) אינטגרביליות על \(U\), ולכן ע"פ הגדרה גם \(f\) אינטגרבילית על \(U\). כבר ראינו בכיוון ההפוך שבמקרה כזה מתקיים השוויון המבוקש.
משפט 4.9. תהא \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, ותהא \(f:U\rightarrow\MKreal\) פונקציה אינטגרבילית על \(U\). לכל קבוצה סגורה ובעלות נפח \(C\subseteq U\), קיימות סדרות \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) ו-\(\left(B_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) של קבוצות קומפקטיות כך ש-\(A_{n}\) ו-\(B_{n}\) כך ש-\(A_{n}\subseteq C\subseteq B_{n}\) לכל \(n\in\MKnatural\), ובנוסף:\[
\intop_{C}f\left(x\right)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{A_{n}}f\left(x\right)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{B_{n}}f\left(x\right)dx
\]
הוכחה. מהיות \(C\) בעלת נפח נובע שהיא חסומה, ולכן מהעובדה שהיא גם סגורה נובע שהיא קומפקטית, ולפיכך מהנתון ש-\(f\) אינטגרבילית על \(U\) נובע ש-\(f\) אינטגרבילית על \(C\). ע"פ מסקנה 3.17\(f\) אינטגרבילית על \(C^{\circ}\) ומתקיים:\[
\intop_{C^{\circ}}f\left(x\right)dx=\intop_{C}f\left(x\right)dx
\]\(C^{\circ}\) היא קבוצה פתוחה ולכן ע"פ שני המשפטים האחרונים (4.1 ו-4.2) קיימת סדרת מיצוי \(\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) של \(C^{\circ}\) המקיימת:\[
\intop_{C}f\left(x\right)dx=\intop_{C^{\circ}}f\left(x\right)dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\intop_{A_{n}}f\left(x\right)dx
\]
צריך להמשיך את ההוכחה.
משפט 4.10. תכונות בסיסיות של האינטגרל תהא \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, ותהיינה \(f,g:S\rightarrow\MKreal\) פונקציות אינטגרביליות על \(U\).
ליניאריות האינטגרל -
לכל \(c\in\MKreal\) מתקיים \(c\cdot\intop_{U}f\left(x\right)dx=\intop_{U}\left(c\cdot f\right)\left(x\right)dx\).
מתקיים \(\intop_{U}\left(f\pm g\right)\left(x\right)dx=\intop_{U}f\left(x\right)dx\pm\intop_{U}g\left(x\right)dx\).
מונוטוניות האינטגרל -
אם \(f\left(x\right)\leq g\left(x\right)\) לכל \(x\in U\) אז:\[
\intop_{U}f\left(x\right)dx\leq\intop_{U}g\left(x\right)dx
\]
כמו כן אם \(f\left(x\right)\geq0\) לכל \(x\in U\) ו-\(f\) אינטגרבילית על קבוצה פתוחה / בעלת נפח \(S\subseteq U\) אז:\[
\intop_{S}f\left(x\right)dx=\intop_{U}f\left(x\right)dx
\]
הגדרה 5.1. היעקוביאן14נקרא על שמו של יעקובי יעקב גוסטב קרל. תהא \(f\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), היעקוביאן של \(f\) ב-\(a\) הוא:\[
J_{f}\left(a\right):=\det\left(Df_{a}\right)
\]
5.2 משפט פוביני
משפט 5.2. משפט פוביני15ערך בוויקיפדיה: פוביני גווידו. תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(B\subseteq\MKreal^{m}\) תיבות, ותהא \(f:A\times B\rightarrow\MKreal\) פונקציה. אם \(f\) אינטגרבילית על \(A\times B\) (\(A\times B\subseteq\MKreal^{k+m}\)) אז האינטגרלים:\[\begin{align*}
& \intop_{A}\left(\overline{\intop}_{B}f\left(x,y\right)dy\right)dx & \intop_{A}\left(\underline{\intop}_{B}f\left(x,y\right)dy\right)dx\\
& \intop_{B}\left(\overline{\intop}_{A}f\left(x,y\right)dx\right)dy & \intop_{B}\left(\underline{\intop}_{A}f\left(x,y\right)dx\right)dy
\end{align*}\]קיימים ושווים ל-\({\displaystyle \intop_{A\times B}f\left(x,y\right)dxdy}\).
הוכחה. נוכיח את המשפט עבור השורה העליונה, ההוכחה עבור התחתונה כמעט זהה. נניח ש-\(f\) אינטגרבילית על \(A\times B\), ויהי \(0<\varepsilon\in\MKreal\). מכאן שקיימת חלוקה \(P\) של \(A\times B\) כך שמתקיים:\[
\overline{S}\left(f,P\right)-\underline{s}\left(f,P\right)<\varepsilon
\]תהא \(P\) כנ"ל ותהיינה \(P_{A}\) ו-\(P_{B}\) חלוקות של \(A\) ושל \(B\) בהתאמה כך שמתקיים \(P=P_{A}\times P_{B}\). תהיינה \(A_{1},A_{2},\ldots,A_{r}\) כל התיבות המתאימות לחלוקה \(P_{A}\), ותהיינה \(B_{1},B_{2},\ldots,B_{t}\) כל התיבות המתאימות לחלוקה \(P_{A}\); מכאן שכל תיבה הנוצרת ע"י החלוקה \(P\) היא מהצורה \(A_{i}\times A_{j}\) עבור \(r\geq i\in\MKnatural\) ו-\(t\geq j\in\MKnatural\) כלשהם. תהיינה \(g:A\rightarrow\MKreal\) ו-\(h:A\rightarrow\MKreal\) פונקציות המוגדרות ע"י (לכל \(x\in A\)):\[\begin{align*}
g\left(x\right) & :=\underline{\intop}_{B}f\left(x,y\right)dy\\
h\left(x\right) & :=\overline{\intop}_{B}f\left(x,y\right)dy
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\underline{s}\left(f,P\right) & =\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{t}V\left(A_{i}\times B_{j}\right)\cdot\inf_{\left(x,y\right)\in A_{i}\times B_{j}}f\left(x,y\right)\\
& =\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{t}V\left(A_{i}\right)\cdot V\left(B_{j}\right)\cdot\inf_{\left(x,y\right)\in A_{i}\times B_{j}}f\left(x,y\right)\\
& =\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot\left(\sum_{j=1}^{t}V\left(B_{j}\right)\cdot\inf_{\left(x,y\right)\in A_{i}\times B_{j}}f\left(x,y\right)\right)\\
& \leq\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot\inf_{x\in A_{i}}\left(\sum_{j=1}^{t}V\left(B_{j}\right)\cdot\inf_{y\in B_{j}}f\left(x,y\right)\right)\\
& \leq\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot\inf_{x\in A_{i}}\left(\underline{\intop}_{B}f\left(x,y\right)dy\right)\\
& =\sum_{i=1}^{r}V\left(A_{i}\right)\cdot\inf_{x\in A_{i}}g\left(x\right)=\underline{s}\left(g,P_{A}\right)
\end{align*}\]ובאותו אופן נקבל:\[
\overline{S}\left(h,P_{A}\right)\leq\overline{S}\left(f,P\right)
\]ולכן ע"פ הגדרת \(P\) מתקיים:\[\begin{align*}
\intop_{A\times B}f\left(x,y\right)dxdy-\varepsilon & <\underline{s}\left(f,P\right)\leq{\color{red}\underline{s}\left(g,P_{A}\right)\leq\overline{S}\left(g,P_{A}\right)}\leq\overline{S}\left(h,P_{A}\right)\leq\overline{S}\left(f,P\right)<\intop_{A\times B}f\left(x,y\right)dxdy+\varepsilon\\
\intop_{A\times B}f\left(x,y\right)dxdy-\varepsilon & <\underline{s}\left(f,P\right)\leq\underline{s}\left(g,P_{A}\right)\leq{\color{red}\underline{s}\left(h,P_{A}\right)\leq\overline{S}\left(h,P_{A}\right)}\leq\overline{S}\left(f,P\right)<\intop_{A\times B}f\left(x,y\right)dxdy+\varepsilon
\end{align*}\]\(\varepsilon\) הנ"ל היה שרירותי ולכן מהגדרת האינטגרביליות נקבל שקיימים האינטגרלים:\[\begin{align*}
& \intop_{A}g\left(x\right)dx & \intop_{A}h\left(x\right)dx
\end{align*}\]ומתקיימים השוויונות:\[\begin{align*}
\intop_{A}\left(\underline{\intop}_{B}f\left(x,y\right)dy\right)dx & =\intop_{A}g\left(x\right)dx=\intop_{A\times B}f\left(x,y\right)dxdy\\
\intop_{A}\left(\overline{\intop}_{B}f\left(x,y\right)dy\right)dx & =\intop_{A}h\left(x\right)dx=\intop_{A\times B}f\left(x,y\right)dxdy
\end{align*}\]
מסקנה 5.3. תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(B\subseteq\MKreal^{m}\) תיבות, ותהא \(f:A\times B\rightarrow\MKreal\) פונקציה אינטגרבילית (ב-\(\MKreal^{k+m}\)). אם לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\) קיימים האינטגרלים:\[\begin{align*}
& \intop_{A}f\left(x,b\right)dx & \intop_{B}f\left(a,y\right)dy
\end{align*}\]אז מתקיים:\[
\intop_{A\times B}f\left(t\right)dt=\intop_{B}\left(\intop_{A}f\left(x,y\right)dx\right)dy=\intop_{A}\left(\intop_{B}f\left(x,y\right)dy\right)dx
\]
\(\clubsuit\)
בפרט עבור כל פונקציה רציפה על תיבה ניתן "לפרק" את האינטגרל לאינטגרלים מממד \(1\) ולחשב אותם בכל סדר שנרצה.
\(\clubsuit\)
כמובן שניתן להמשיך ולהגדיר פונקציות רציפות \(h_{1},h_{2}:S\rightarrow\MKreal\) כך ש-\(h_{1}\left(x,y\right)\leq h_{2}\left(x,y\right)\) לכל \(\left(x,y\right)\in A\), לסמן:\[
T:=\left\{ \begin{array}{c|c}
\left(x,y,z\right)\in\MKreal^{3} & x\in\left[a,b\right],\ y\in\left[g_{1}\left(x\right),g_{2}\left(x\right)\right],\ z\in\left[h_{1}\left(x,y\right),h_{2}\left(x,y\right)\right]\end{array}\right\}
\]ואז לכל פונקציה רציפה \(f:T\rightarrow\MKreal\) יתקיים:\[
\intop_{T}f\left(t\right)dt=\intop_{a}^{b}\left(\intop_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}\left(\intop_{h_{1}\left(x,y\right)}^{h_{2}\left(x,y\right)}f\left(x,y,z\right)dz\right)dy\right)dx
\]וכן הלאה...
לכתוב על הקשר למשפט שוורץ.
מסקנה 5.4. יהיו \(a,b\in\MKreal\) כך ש-\(a\leq b\) ותהיינה \(g_{1},g_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציות רציפות כך ש-\(g_{1}\left(x\right)\leq g_{2}\left(x\right)\) לכל \(x\in\left[a,b\right]\). נסמן:\[
S:=\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x\in\left[a,b\right],\ y\in\left[g_{1}\left(x\right),g_{2}\left(x\right)\right]\right\}
\]\(S\) היא קבוצה בעלת נפח ולכל פונקציה רציפה \(f:S\rightarrow\MKreal\)16ניתן להחליף את התנאי ש-\(f\) רציפה בכך שהאינטגרל \(\intop_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}f\left(x,y\right)dy\) מוגדר לכל \(x\in\left[a,b\right]\). מתקיים:\[
\intop_{S}f\left(t\right)dt=\intop_{a}^{b}\left(\intop_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}f\left(x,y\right)dy\right)dx
\]
5.3 החלפת משתנה
\(\clubsuit\)
באינפי'2ראינו את המשפט הבא:
משפט. הצבה תהא \(f:I\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה על קטע סגור \(I\) ותהא \(\varphi:\left[a,b\right]\rightarrow I\) פונקציה גזירה כך ש-\(\varphi'\) אינטגרבילית רימן על \(\left[a,b\right]\), מתקיים:\[
\intop_{a}^{b}f\left(\varphi\left(x\right)\right)\cdot\varphi'\left(x\right)dx=\intop_{\varphi\left(a\right)}^{\varphi\left(b\right)}f\left(t\right)dt
\]
והסקנו ממנו משפט נוסף:
משפט. הצבה הפוכה תהיינה \(f:\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציה רציפה, ותהא \(\varphi:\left[\alpha,\beta\right]\rightarrow\left[a,b\right]\) פונקציה הפיכה וגזירה כך ש-\(\varphi'\) אינטגרבילית רימן על \(\left[\alpha,\beta\right]\), מהרציפות וההפיכות של \(\varphi\) נובע שהיא מונוטונית ממש.
אם \(\varphi\) עולה ממש אז:\[
\intop_{a}^{b}f\left(t\right)dt=\intop_{\varphi^{-1}\left({\color{blue}a}\right)}^{\varphi^{-1}\left({\color{red}b}\right)}f\left(\varphi\left(x\right)\right)\cdot\varphi'\left(x\right)dx
\]
אם \(\varphi\) יורדת ממש אז:\[
\intop_{a}^{b}f\left(t\right)dt=\intop_{\varphi^{-1}\left({\color{red}b}\right)}^{\varphi^{-1}\left({\color{blue}a}\right)}f\left(\varphi\left(x\right)\right)\cdot\varphi'\left(x\right)dx
\]
נשים לב לכך שבכל מקרה זה אומר שמתקיים:\[
\intop_{a}^{b}f\left(t\right)dt=\intop_{\varphi^{-1}\left({\color{blue}a}\right)}^{\varphi^{-1}\left({\color{red}b}\right)}f\left(\varphi\left(x\right)\right)\cdot\left|\varphi'\left(x\right)\right|dx
\]כעת עולה השאלה האם משפטים דומים מתקיימים גם בממדים גבוהים יותר, אמנם ההוכחה המקורית של משפט ההצבה הסתמכה על קיום פונקציה קדומה ל-\(f\) אך האינטואיציה תקפה גם כאן.
תזכורת:
ראינו שעבור \(f:\MKbbx\rightarrow\MKbby\) הומיאומורפיזם וקבוצה \(S\subseteq\MKbbx\) מתקיים:\[\begin{align*}
f\left(S\right)^{\circ} & =f\left(S^{\circ}\right)\\
\partial f\left(S\right) & =f\left(\partial S\right)\\
\overline{f\left(S\right)} & =f\left(\overline{S}\right)
\end{align*}\]וכמו עבור כל פונקציה רציפה גם \(f\left(S\right)\) קומפקטית.
\(\clubsuit\)
טענה זו מראה שהגדרת "פונקציית נפח" שראינו בליניארית1אכן מתיישבת עם הגדרת נפח בקורס זה.
סימון:
לכל \(x\in\MKreal^{k}\) ולכל \(0<r\in\MKreal\) נסמן \(C_{r}\left(x\right):=\left[x_{1}-r,x_{1}+r\right]\times\left[x_{2}-r,x_{2}+r\right]\times\ldots\times\left[x_{k}-r,x_{k}+r\right]\), זוהי הקובייה הסגורה שמרכזה ב-\(x\) ואורך כל מקצוע שלה הוא \(2r\).
\(\clubsuit\)
נזכור שמתקיים \(C_{r}\left(x\right)=\left\{ y\in\MKreal^{k}:\left\Vert y-x\right\Vert _{\infty}\leq r\right\} \), כלומר קובייה סגורה בנורמה האוקלידית היא כדור סגור בנורמת \(\ell_{\infty}\).
תזכורת:
לפני שהוכחנו את משפט הפונקציה ההפוכה ראינו את שתי הלמות שלהלן, אמנם אז חשבנו על הנורמה האוקלידית אך בהוכחה לא השתמשנו בהנחה זו ולכן היא תקפה לכל נורמה ובפרט עבור נורמת \(\ell_{\infty}\).
למה. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה ותהא \(g:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה גזירה, אם קיים \(\varepsilon\in\left(0,1\right)\) כך שלכל \(x\in A\) מתקיים:\[
\left\Vert Dg_{x}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon
\]אז לכל \(a\in A\) ולכל \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(a\right)\subseteq A\) מתקיים (עבור אותו \(\varepsilon\)):\[
B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)\subseteq g\left(B_{r}\left(a\right)\right)\subseteq B_{\left(1+\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)
\]
למה. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה חח"ע וגזירה ברציפות כך ש-\(Df_{a}\) הפיכה לכל \(a\in A\). אם קיים \(\varepsilon\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\) כך שלכל \(x\in A\) מתקיים:\[
\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\circ Df_{x}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon
\]אז לכל \(a\in A\) ולכל \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(a\right)\subseteq A\) מתקיים (עבור אותו \(\varepsilon\)):\[
Df_{a}\left(B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\right)\subseteq f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\subseteq Df_{a}\left(B_{\left(1+\varepsilon\right)r}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\right)
\]
בכיתה ראינו את הטענה עבור קבוצות קומפקטיות אך היא נכונה באופן כללי.
טענה 5.5. תהא \(U,V\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצות פתוחות, ותהא \(g:U\rightarrow V\) פונקציה גזירה ברציפות, חח"ע ועל, לכל קבוצה \(E\subseteq U\) ממידה אפס גם \(g\left(E\right)\) ממידה אפס.
צריך לכתוב הוכחה
טענה 5.6. תהא \(T:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{k}\) העתקה ליניארית, ותהא \(S\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה בעלת נפח; מתקיים:\[
V\left(T\left(S\right)\right)=\intop_{T\left(S\right)}1\ dx=\intop_{S}\left|\det T\right|dx=V\left(S\right)\cdot\left|\det T\right|
\]
צריך לכתוב הוכחה
מסקנה 5.7. תהיינה \(U\subseteq\MKreal\) קבוצה פתוחה, ו-\(B\subseteq U\) תיבה שמרכזה17המרכז של תיבה \(\left[a_{1},b_{1}\right]\times\left[a_{2},b_{2}\right]\times\ldots\times\left[a_{k},b_{k}\right]\) הוא הנקודה \(\left(\frac{a_{1}+b_{1}}{2},\frac{a_{2}+b_{2}}{2},\ldots,\frac{a_{k}+b_{k}}{2}\right)\). בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), כך ש-\(\MKar\left(B\right)\leq2\), ותהא \(g:U\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה חח"ע וגזירה ברציפות כך ש-\(Dg_{x}\) הפיכה לכל \(x\in U\). אם קיים \(\varepsilon\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\) כך ש ש-\(\left\Vert \left(Dg_{a}\right)^{-1}\circ Dg_{x}-\MKid\right\Vert _{\MKop_{\infty}}<\varepsilon\)18הכוונה כאן לנורמה האופרטורית עבור נורמת \(\ell_{\infty}\). לכל \(x\in U\), אז \(g\left(B\right)\) בעלת נפח ומתקיים:\[
\left(1-2\varepsilon\right)^{k}\cdot\left|J_{g}\left(a\right)\right|\cdot V\left(B\right)\leq V\left(g\left(B\right)\right)\leq\left(1+2\varepsilon\right)^{k}\cdot\left|J_{g}\left(a\right)\right|\cdot V\left(B\right)
\]
צריך לכתוב הוכחה
משפט 5.8. חילוף משתנה לקבוצות קומפקטיות תהא \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, תהא \(g:U\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה חח"ע וגזירה ברציפות כך ש-\(J_{g}\left(x\right)\neq0\) לכל \(x\in U\), ותהא \(K\subseteq g\left(U\right)\) קבוצה קומפקטית בעלת נפח. לכל פונקציה אינטגרבילית \(f:K\rightarrow\MKreal\) כך ש-\(f\circ g\) אינטגרבילית על \(g^{-1}\left(K\right)\)19ע"פ משפט הפונקציה ההפוכה \(g^{-1}\) עומדת באותם תנאים של \(g\), ולכן ע"פ טענה 5.4\(g^{-1}\left(K\right)\) בעלת נפח (השפה שלה ממידה אפס). מתקיים:\[
\intop_{K}f\left(x\right)dx=\intop_{g^{-1}\left(K\right)}f\left(g\left(x\right)\right)\cdot\left|J_{g}\left(x\right)\right|dx
\]
צריך לכתוב הוכחה
מסקנה 5.9. חילוף משתנה לקבוצות פתוחות תהא \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, תהא \(g:U\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה חח"ע וגזירה ברציפות כך ש-\(J_{g}\left(x\right)\neq0\) לכל \(x\in U\). לכל פונקציה אינטגרבילית \(f:g\left(U\right)\rightarrow\MKreal\) כך ש-\(f\circ g\) אינטגרבילית על \(U\) מתקיים:\[
\intop_{g\left(U\right)}f\left(x\right)dx=\intop_{U}f\left(g\left(x\right)\right)\cdot\left|J_{g}\left(x\right)\right|dx
\]
צריך לכתוב הוכחה
נספח: מערכות קואורדינטות
דוגמה 5.10. חילופי משתנים נפוצים - מערכות קואורדינטות
המעבר ממערכת קואורדינטות קוטביות/גליליות לקרטזיות מתבצע ע"י ההעתקות:\[\begin{align*}
\left(r,\theta\right) & \mapsto\left(r\cdot\cos\theta,r\cdot\sin\theta\right)\\
\left(\rho,\theta,z\right) & \mapsto\left(\rho\cdot\cos\theta,\rho\cdot\sin\theta,z\right)
\end{align*}\]הדיפרנציאלים של העתקות אלו הם:\[\begin{align*}
& \left[\begin{array}{cc}
\cos\theta & -r\cdot\sin\theta\\
\sin\theta & r\cdot\cos\theta
\end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc}
\cos\theta & -r\cdot\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cdot\cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\end{align*}\]ולפיכך היעקוביאן בכל נקודה הוא \(r\) או \(\rho\) בהתאמה, וכמובן היעקוביאן בכיוון ההפוך הוא \(\frac{1}{r}\) ו-\(\frac{1}{\rho}\) בהתאמה.
המעבר ממערכת קואורדינטות גליליות לכדוריות מתבצע ע"י ההעתקה \(\left(r,\theta,\phi\right)\mapsto\left(r\cdot\sin\theta\cdot\cos\phi,r\cdot\sin\theta\cdot\sin\phi,r\cdot\cos\theta\right)\)20כאן יש לדייק ולומר ש-\(\theta\in\left[0,\pi\right]\), כמובן שניתן להחליט באופן שרירותי ש-\(\theta\in\left[\pi,2\pi\right]\) (או כל קטע אחר באורך \(\pi\)).21שימו לב לכך ש התפקידים של \(\theta\) ו-\(\phi\) הפוכים מאלה שבתרגול11., הדיפרנציאל של העתקה זו הוא:\[
\left[\begin{array}{ccc}
\sin\theta\cdot\cos\phi & r\cdot\cos\theta\cdot\cos\phi & -r\cdot\sin\theta\cdot\sin\phi\\
\sin\theta\cdot\sin\phi & r\cdot\cos\theta\cdot\sin\phi & r\cdot\sin\theta\cdot\cos\phi\\
\cos\theta & -r\cdot\sin\theta & 0
\end{array}\right]
\]ולפיכך היעקוביאן בכל נקודה הוא (נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה):\[\begin{align*}
& \cos\theta\cdot\left(r\cdot\cos\theta\cdot\cos\phi\cdot r\cdot\sin\theta\cdot\cos\phi+r\cdot\sin\theta\cdot\sin\phi\cdot r\cdot\cos\theta\cdot\sin\phi\right)\\
& -\left(-r\cdot\sin\theta\right)\cdot\left(\sin\theta\cdot\cos\phi\cdot r\cdot\sin\theta\cdot\cos\phi+r\cdot\sin\theta\cdot\sin\phi\cdot\sin\theta\cdot\sin\phi\right)\\
= & \cos\theta\cdot\left(r^{2}\cdot\cos^{2}\phi\cdot\cos\theta\cdot\sin\theta+r^{2}\cdot\sin^{2}\phi\cdot\cos\theta\cdot\sin\theta\right)\\
& +r\cdot\sin\theta\cdot\left(r\cdot\sin^{2}\theta\cdot\cos^{2}\phi+r\cdot\sin^{2}\theta\cdot\sin^{2}\phi\right)\\
= & r^{2}\cdot\sin\theta\cdot\left(\cos^{2}\phi\cdot\cos^{2}\theta+\sin^{2}\phi\cdot\cos^{2}\theta\right)\\
& +r^{2}\cdot\sin\theta\cdot\left(\sin^{2}\theta\cdot\cos^{2}\phi+\sin^{2}\theta\cdot\sin^{2}\phi\right)\\
= & r^{2}\cdot\sin\theta\cdot\left(\cos^{2}\phi\cdot\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)+\sin^{2}\phi\cdot\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)\right)\\
= & r^{2}\cdot\sin\theta\cdot\left(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta\right)\cdot\left(\sin^{2}\phi+\cos^{2}\phi\right)=r^{2}\cdot\sin\theta
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
בכל אחת מהחלפת הקואורדינטות הללו היעקוביאן יוצא חיובי ולכן אין צורך לקחת את הערך המוחלט שלו.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );